---------------------- REFERENTNI SUSTAV U MIROVANJU -------------------------------

Zamislimo referentni sustav koji se sastoji od vlaka mase M koji stoji na postaji, i u njemu se nalazi pištolj sa zrnom mase m. Početna energija i brzina toga sustava u odnosu na zemlju su nula, kao i ukupna količina gibanja. Zemlju zamišljamo kao 'apsolutni' referentni sustav. Zatim se ispali zrno u smjeru lokomotive, tj. u taj sustav se unese energija iznosa E, pri čemu će zrno dobiti neku brzinu w (u odnosu na zemlju), a vlak će krenuti unazad nekom brzinom dv ( u odnosu na zemlju) prema zakonu akcije i reakcije. Dodana energija E bi zrnu dala brzinu prema izrazu E = m * v^2/2, ukoliko ne bi bilo interakcije s vlakom, ali prema zakonu očuvanja energije, energija E se raspodijelila na energiju zrna Em i energiju vlaka Ev. Iz tih uvjeta se izračunava:

Na apscisi dijagrama je omjer M/m, a na ordinati omjeri (Em – Ev)/E, označeno punom linijom, crtkano omjer relativne brzine zrna prema vlaku, i brzine v, tj. v1/v, omjer brzine zrna prema zemlji w/v i omjer brzine vlaka dv/v. Ukoliko bi mase M i m bile jednake ( M/m = 1), energija se podjednako rasporedi i omjer energije je 0,5. Povećanjem omjera, tj. mase vlaka u odnosu na masu zrna, sve veći dio energije se predaje zrnu, a sve manje vlaku, te ta krivulja teži jedinici s 'donje' strane. Omjer brzina pri jednakim masama daje 1,41*v jer svaka 'polovica' energije daje svakom objektu brzinu 0,7*v, što zbrojeno daje tu vrijednost. Povećanjem omjera krivulja teži jedinici s 'gornje' strane.

Što ovo znači? Ukoliko bi vlak bio zakočen, s energijom E = m * v^2/2 bi zrno postiglo brzinu v mjereno prema Zemlji, ali u ovom referentnom sustavu vlaka dobiva relativnu brzinu prema vlaku 1,41*v pri M = m. Zrno je dobilo energiju E1 = m*(1,41*v)^2/2 = m*v^2, a znamo da nije dobilo toliku energiju, a i dio uložene je utrošen na ubrzanje vlaka. Očigledno se ovdje radi o nekoj vrsti 'virtuelne' energije, kao da se dio energije potrošen na ubrzanje vlaka, tj. cijelog referentnog sustava, na neki način 'preslikava' na energiju zrna. Ubrzanje vlaka je u minus smjeru gledano u referentnom sustavu vlaka. Više o 'preslikavanju' energije se može pogledati na dnu stranice (Dodatak). Kako se masa sustava M povećava u odnosu na masu objekta m, tako 'virtuelna' energija postaje sve bliža stvarno uloženoj energiji. U svakom slučaju, strogo promatrano, treba uočiti razliku između realnog, i idealnog referentnog sustava. Idealni sustav ima masu 'beskonačno' puta veću od mase promatranog objekta pri čemu se može smatrati kako nema posljedica interakcije objekta na brzinu referentnog sustava.

Potrebno je još uočiti da će zrno u odnosu na Zemlju imati brzinu 0,7*v, tj. manje nego što bi imalo da je ispaljeno u referentnom sustavu Zemlje.

VERIFIKACIJA IZRAZA PREKO SILA

Pri pucnju, neka sila F je u vremenskom intervalu t djelovala ubrzanjem am i dala zrnu brzinu w, a ubrzanjem av brzinu vlaka dv. Uz osnovne izraze kinematike za jednoliko ubrzano gibanje i uvjet jednakosti sila na zrno i vlak dobivamo:

Ubrzanja: am = w / t av = dv / t

Sile: F = M * av = m * am

Rezultat koji se slaže s izrazom dobivenim iz zakona očuvanja količine gibanja: dv = w*m/M

Pređeni put: sm = am*t^2/2 sv = av*t^2/2

Rad sile na putu ubrzanja: Am = F*sm Av = F*sv

Rezultat omjera energija: Am / Av = M / m

Račun preko sila daje istu raspodjelu energije kao i pristup na prvom izvodu preko očuvanja energije.

----------------------------- REFERENTNI SUSTAV U GIBANJU -----------------------------------

----- DODATAK 'POZITIVNE' ENERGIJE -----

Za razliku od prethodnog primjera, zamislimo da smo vlak sa zrnom prvo ubrzali na neku brzinu vo, i tek onda pri pucnju u smjeru lokomotive sustavu dodali istu energiju E = m * v^2/2. U naslovu se spominje pojam 'pozitivna' jer je dodana energija pozitivna za zrno u oba sustava. Zrno je od brzine vo ubrzalo na vo + w, a vlak je od brzine vo usporio na vo – dv. Izrazi su:

Oznake u zagradama su oznaka referentnog sustava za navedenu veličinu. Neki od ovih izraza su grafički prikazani uz vo = v = 1:

Povećanjem mase M, tj. približavanjem idealnom referentnom sustavu, brzina zrna u sustavu vlaka v1 se približava brzini v ( ekvivalent uložene energije E), a brzina zrna u sustavu zemlje se približava vrijednosti vo + v, što je u skladu s postupkom zbrajanja relativnih brzina. Omjer energija dEm1/E u sustavu vlaka je isto u skladu s relativnom brzinom zrna prema vlaku, a uklapa se i u izraz za kinetičku energiju zrna za uloženu energiju.

Međutim, omjer energija dEm/E u sustavu zemlje je dosta zanimljiv: Povećanjem mase M približava se vrijednosti 3! Kako je zrno prije pucnja imalo brzinu vo = 1, nakon toga postiglo brzinu vo + v = 2, jasno je kako u sustavu zemlje treba imati četiri puta veću kinetičku energiju. Jedan dio je imao na početku, tri dijela je dobio nakon pucnja, što ukupno daje četiri dijela. 'Višak' energije je preuzet od kinetičke energije sustava vlaka koji zbog usporenja ima manju kinetičku energiju.

VERIFIKACIJA IZRAZA PREKO SILA

Pri pucnju, neka sila F je u vremenskom intervalu t djelovala ubrzanjem am i ubrzala zrno od vo do w, a 'ubrzanjem' -av vlak usporila od vo do vo - dv. Uz osnovne izraze kinematike za jednoliko ubrzano gibanje i uvjet jednakosti sila na zrno i vlak dobivamo:

Ubrzanja: am = w / t av = dv / t

Sile: F = M * av = m * am

Rezultat koji se slaže s izrazom dobivenim iz zakona očuvanja količine gibanja: dv = w*m/M

Pređeni put: sm = vo*t + am*t^2/2 sv = vo*t - av*t^2/2

Rad sile na putu ubrzanja: Am = F*sm Av = F*sv

……….

Ukratko, i za ovaj slučaj se dobivaju isti izrazi kao i pri računanju preko održanja količine gibanja.

----- DODATAK 'NEGATIVNE' ENERGIJE -----

Za razliku od prethodnog primjera, zamislimo da smo vlak sa zrnom prvo ubrzali na neku brzinu vo, i tek onda pri pucnju u smjeru zadnjeg vagona sustavu dodali istu energiju E = m * v^2/2. Ako se pogleda objašnjenje na dnu stranice (Dodatak), to je dodatak energije u referentni sustav vlaka, ali je za sustav zemlje ustvari oduzimanje energije zrnu, i zato je u naslovu pojam 'negativna' energija. Zrno je od brzine vo usporilo na vo - w, a vlak je od brzine vo ubrzao na vo + dv. Izrazi su slični, ali ipak ima 'male' razlike:

Neki izrazi su grafički prikazani uz vo = v = 1:

Povećanjem mase M, tj. približavanjem idealnom referentnom sustavu, brzina zrna u sustavu vlaka v1 se približava brzini v, naravno s minus predznakom ( ekvivalent uložene energije E), a brzina zrna vz u sustavu zemlje se približava vrijednosti 0, što je u skladu s postupkom zbrajanja relativnih brzina. Omjer energija dEm1/E u sustavu vlaka je isto u skladu s relativnom brzinom zrna prema vlaku, a uklapa se i u izraz za kinetičku energiju zrna za uloženu energiju.

Međutim, omjer energija dEm/E u sustavu zemlje je dosta zanimljiv, ali za razliku od pucnja prema lokomotivi, uklapa se u energetsku bilansu između referentnih sustava: Povećanjem mase M približava se vrijednosti -1! Kako je zrno prije pucnja imalo brzinu vo = 1, nakon toga postiglo brzinu vo – v = 0, u sustavu zemlje stvarno ima kinetičku energiju nula. Koliko je uloženo u kinetičku energiju zrna pri ubrzanju referentnog sustava vlaka i zrna, toliko je i oduzeto s pucnjem prema kraju vlaka i rezultat je nula.

Zatim, ako se pogledaju izrazi za relativnu brzinu zrna prema vlaku u oba slučaja, iznosi su jednaki, jedina razlika je u predznaku. To je ujedno i dokaz da nikakav eksperiment s ispaljivanjem zrna ni u nekom realnom referentnom sustavu ne može odrediti vektor gibanja sustava, prema tome, pogotovo u idealnom sustavu.

--------------------------------- ZAKLJUČAK -----------------------------------------

Očigledno je kako nismo mogli relativnu brzinu zrna u realnom referentnom sustavu vlaka izračunati samo iz dodane energije E. Znači, da bi mogli primijeniti sve zakone mehanike na taj referentni sustav, masa sustava treba biti mnogo puta veća od mase objekta na koji želimo primijeniti te zakone. Pri računanju s energijama, kod ovakvih problema treba uzeti u obzir i masu sustava, a tek onda pretpostaviti kako je mnogo veća, što za posljedicu ima njeno 'nestajanje' iz izraza.

---------------------------------------- DODATAK ----------------------------------------------

Zamislimo izolirani sustav s dvije jednake mase m koje se gibaju jednakim brzinama 4 m/s po istom pravcu i smjeru. U određenom trenutku se zbog aktiviranja neke energije pojave dvije interne sile suprotnih smjerova, jedna ubrzava masu, a druga pak usporava drugu masu. Zakon očuvanja količine gibanja kaže da će suma količina gibanja ostati ista, jedino će se povećati ukupna energija sustava:

Međutim, mora se uočiti nešto jako važno: Iako smo u sustav dodali samo 2*m/2 energije, prirast kinetičke energije ubrzane mase je VEĆI od uložene energije ( 9*m/2 ). Kao da je došlo i do 'pretakanja' energije koja koči jednu masu u energiju ubrzanja druge mase, tj. ne smije se promatrati kao da se uložena energija dijeli samo na ubrzanje jedne, i usporavanje druge mase. Zbog toga u bilansama energije jedna razlika energija mora imati minus predznak, tj razlika se mora gledati identično za obje mase: energija na kraju ciklusa minus energija na početku ciklusa. Zatim, ukoliko bi se energija koristila samo za ubrzanje prve mase, pitanje je kuda bi nestala energija nastala zbog smanjenja kinetičke energije druge mase. U suprotnom, ako bi se zbrajale razlike energije, postavlja se pitanje kuda je nestao višak energije od 14*m/2? Rađeni su proračuni i za tu opciju, ali se tek onda dobivaju neobični rezultati.

Stranica Postavljena: 05.08.2010.

Zadnja Promjena: 09.08.2010.

e-mail: branko.vasiljev@inet.hr

Početna Stranica ( Home Page)