2.3.7.3. Bifurkacijski dijagram

 

    Postoji još jedna grafička metada prikazivanja ponašanja atraktora, koja je sigurno najpopularnija (čak i među laicima), i najjasnija. Ako iscrtamo fazni dijagram takav, da horizontalna os predstavlja vrijednosti kontrolnog parametra u intervalu [0,4], a na vertikalnu os, za svaki kontrolni parametar iscrtamo pripadajuće mu atraktore u intervalu [0,1], dobiti ćemo ono što teoretičari kaosa zovu bifurkacijski diagram, koji se ponekad zove i Feigenbaumov dijagram (on ga je sistematski proučavao). Za logističku jednadžbu bifurkacijski dijagram prikazan je na Sl. 10.




Sl. 10 - Bifurkacijski diagram, r=[0,4], x=[0,1]


    Ponegdje se bifurkacijski dijagram još naziva i smokvino stablo, jer riječ feigenbaum na njemačkom jeziku znači upravo to, a i razgranatost dijagrama podsjeća na tu voćku.

    Na dijagramu se vrlo jasno vidi ponašanje atraktora: u intervalu r=[0,1] atraktor je 0, populacija izumire. Kako se uvjeti okoliša mjenjaju, a kontrolni parametar se pomiče u intervalu [1,3], atraktor raste u skladu s funkcijom x=(r-1)/r. Potom se mogu pratiti podvostručenja perioda, počevši od prvog na r=3, pa nadalje sve do kaosa. Kaos je prikazan kao “mrlja”, prepuna točaka, koje nisu atraktori, ali se iscrtavaju jer je računalu nemoguće uočiti razliku između atraktora beskonačnog perioda i kaosa. Tek na ovaj način moguće je vidjeti svu složenost nastalu iteriranjem jedne obične kvadratne jednadžbe.

    Kompjutorski, bifurkacijski dijagram se generira na vrlo jednostavan način: za bilo koji početni x0 uzmemo prvu vrijednost kontrolnog parametra iz zadanog intervala (npr. [0,4]), iteriramo logističku jednadžbu određen broj puta (primjerice 100 ili 200 – ovo se zovu filtracijske iteracije), tako da se x ustali na određenoj vrijednosti (tj. da se ta vrijednost izjednači sa atraktorom), i potom slijedećih stotinjak iteracija ne preskočimo, već iscrtamo. Slika koju dobijemo za taj određeni kontrolni parametar trebala bi biti, uz dovoljno velik broj filtracijskih iteracija, slika položaja atraktora na okomitom pravcu. Kada je izračun gotov za taj kontrolni parametar, povećamo ga za maleni broj, ponovimo račun, i tako sve do kraja intervala.





Prethodno poglavlje          Povratak na sadržaj          Slijedeće poglavlje

Povratak na početnu stranicu          Kontakt autora