Već je i u uvodu opisan prvi kaotični sustav koji je sustavno istraživan upotrebom računala – Lorenzova konvekcija (treba spomenuti da je još početkom stoljeća, doduše bez računala, Poincare proučavao stari problem tri tijela – također kontinuirani sustav). To je model konvekcije fluida [1,2] u zatvorenoj kutiji sa glatkim unutarnjim stranicama, čije se dno konstantno grije (tako da se održi na istoj temperaturi), i čiji se vrh isto tako hladi. Tako se, pri niskim temperaturnim razlikama, u kutiji formiraju dva strujna valjka, od kojih svaki rotira u suprotnom smijeru, tako da se jedan dio fluida uzgonom uzdiže (to je onaj dio bliže unutrašnjosti, dakle topliji dio), a drugi dio pada (hladniji dio uz stranice posude). Kada se razlika poveća, dolazi do nestabilnosti i lelujanja strujnih valjaka, a kod još jačeg zagrijavanja valjci fluida se gube, i zamjenjuju ih nepravilnosti i turbulencije, tj. kaos (Sl. 3).

    Lorenz je svoj sustav opisao sa tri diferencijalne jednadžbe:

                                    |1|

    Stanje sustava opisano je sa tri varijable: x, y i z. x je jakost konvekcije, odnosno brzina okretanja valjka fluida, y je temperaturna razlika između suprotnih strana valjka (odnosno, uzlazne i silazne struje fluida), a z je odstupanje od linearne temperaturne ovisnosti o visini kutije. Za svaki sustav (tj., za svaku kutiju i vrstu fluida) postoje i tri konstante: δ je omjer viskoznosti fluida i njegovog toplinskog kapaciteta, r je temperaturna razlika između vrha i dna kutije sa fluidom, a b je omjer širine i visine kutije.

    Sl. 3 - konvekcijski valjci u fluidu. Lijeva slika prikazuje pravilno ponašanje, desna pak lelujanje valjaka, odnosno kaos. (strelice označavaju dovod topline)

    Zanimljivo je da je kasnije Lorenz ustanovio da iste tri jednadžbe opisuju (i to puno bolje nego konvekciju fluida) ponašanje puno jednostavnijeg sustava, vodeničnog kola [1], što nije ni eksperimentom teško provjeriti.

    Vodenično kolo sastoji se od kotača na kojem su smještene posude koje slobodno rotiraju. Svaka posuda je probušena na dnu, tako da voda određenom brzinom istjeće iz nje. Na vrhu kola nalazi se slavina kojom reguliramo tok vode. Ovaj jednostavan sustav pokazuje vrlo složena gibanja: kod jako malih brzina toka vode gravitacija i energija padajuće vode nisu dovoljne da nadjačaju trenje, pa sustav miruje u stabilnom stanju. Ako malo pojačamo tok vode, kolo se počinje konstantno okretati u jednom od dva smijera – i sada je sustav stabilan. Međutim, pojačamo li još dotok vode, kolo se neko vrijeme vrti u jednom smijeru, potom naglo promjeni smijer, pa stane, polagano se počne okretati opet u drugom smijeru... Jednom riječju, sustav je nepredvidljiv – kaotičan.

    Koji god od ova dva sustava izabrali, diferencijalne jednadžbe |1| možemo prevesti (uz dt=Δt i dx=x_n+1- x_n) u one koje računalo razumije, i može izračunati, a to su iteracijske jednadžbe, koje u ovom slučaju izgledaju ovako:

x_n+1=x_n - δ(y_n - x_n)Δt       y_n+1=y_n + (rx_n - y_n - x_nz_n)Δt       z_n+1=z_n + (x_ny_n - bz_n)Δt       |2|

Prethodno poglavlje          Povratak na sadržaj          Slijedeće poglavlje

Povratak na početnu stranicu          Kontakt autora