Fiksna, odnosno periodička vrijednost je vrijednost koja je karakteristična za sustav (vidi Def. 2 niže), a može biti nestabilna ili stabilna.

    Nestabilne vrijednosti su one u kojima se postiže stabilnost samo ako se sustav već nalazi na toj vrijednosti (vrijednost varijable naravno ovdje označava određeno stanje). U ovom primjeru to je x_a=0. Ako nema populacije, ništa se naravno neće mijenjati, jer život ne nastaje iz ničega. Međutim, nestabilne vrijednosti su nestabilne upravo zbog toga što malena odstupanja od te vrijednosti imaju velikog utjecaja na daljnje ponašanje sustava (dovoljna je jedna bakterija, što je mala razlika od nijedne, da se razmnoži i stvori milijarde njih). Kako se ta malena odstupanja od nestabilne vrijednosti rapidno povečavaju (tj. bakterije se ubrzano razmnožavaju), nestabilne vrijednosti se još zovu i vrijednosti odbijanja.

    Za razliku od njih, stabilne vrijednosti sustava su one kojima su vrijednosti “privučene”, tj. nikakva odstupanja od stabilne vrijednosti ne mogu poremetiti populaciju, pa se ona opet vraća stabilnoj vrijednosti. Iz latinskog jezika, zbog tog privlačenja, preuzet je za stabilne vrijednosti termin atraktor. Atraktor je za logističku jednadžbu, kako je prije spomenuto, neovisan o vrijednosti početne populacije, već ovisi samo o kontrolnom parametru, tako da vrijedi x_b= (važno je napomenuti da ovo vrijedi samo za 1<r<3, kako će se kasnije pokazati). Dakle, za r=2.8 sa Sl. 4, atraktor iznosi , odnosno populacija, ma kakva u početku bila, završava na 64% svog maksimuma.

    Precizna matematička definicija stabilnosti neke vrijednosti glasi:

(Def. 2) Neka je f: R→R. Vrijednost x_a je fiksna vrijednost za funkciju f ako vrijedi da je f(x_a)=x_a. Vrijednost x_a periodična je vrijednost perioda n ako vrijedi fⁿ(x_a)=x_a i fⁱ(x_a)≠x_a, za i<n.

Periodična vrijednost s periodom n (fiksna vrijednost je periodička sa periodom 1) je atraktor ako |(fⁿ)'(x_a)|<1, vrijednost odbijanja ako |(fⁿ)'(x_a)|>1, a neutralna ako |(fⁿ)'(x_a)|=1. Pri tome je (fⁿ)'(x_a) derivacija n-te iteracije funkcije f u x_a. [5]

Prethodno poglavlje          Povratak na sadržaj          Slijedeće poglavlje

Povratak na početnu stranicu          Kontakt autora