,) i u ishodištu. Za r=2 atraktor je baš u , a vrij2.3.7.1. Graf funkcije
Isti rezultati mogu se dobiti i grafički, kako je prikazano na Sl. 7a-c. Na njima je nacrtana logistička jednadžba u obliku funkcije f(x)=rx(1-x) (iscrtana zeleno), te funkcija f(x)=x, simetrala prvog i trećeg kvadranta (iscrtana plavo). Na prvoj slici, s kotrolnim parametrom postavljenim na 1, dvije krivulje sjeku se u jednoj točki, ishodištu (0,0), i upravo je to atraktor za r=1. Na drugoj slici za r=2 krivulje se sjeku u (,) i u ishodištu. Za r=2 atraktor je baš u , a vrij
,), i u (0,0), pa je i atraktor u . Ovo je lako objasniti – kako se krivulje sijeku u jednoj točki, riješavanjem dobivamo x=rx(1-x), iz čega proizlaze upravo dva riješenja spomenuta prije.
Sl. 7a - r=1 Sl. 7b - r=2 Sl. 7c - r=2.5
Međutim, to ništa ne govori o periodu dva, ili većem. Za to ćemo morati zanemariti to da je iteriranje isključivo numerička metoda, i iscrtati funkciju f 2(x)=f(rx(1-x))=r[rx(1-x)][1-rx(1-x)], dakle funkciju druge iteracije, zajedno sa f(x)=x. Dobivamo grafove prikazane na Sl. 8a-c.
Sl. 8a - r=2.5 Sl. 8b - r=3 Sl. 8c - r=3.4
Ponavljajući gornje razmišljanje, na prvoj slici vidimo da se za r=2.5 krivulje ponovno sijeku u (,), kao i na Sl. 7c, samo što u području perioda dva nije atraktor, već vrijednost odbijanja, pa je to sjecište zapravo “ostatak”, atraktor nižih perioda (u ovom slučaju to je jedan jedini – atraktor perioda jedan). Drugih sjecišta nema, što dovodi to zaključka da za r=2.5 ne postoji atraktor perioda 2. Na drugoj slici situacija se ponavlja, samo što za r=3 (gdje se događa prva bifurkacija) vidimo da se krivulja toliko iskrivljuje u odnosu na onu na Sl. 8a, da pravac f(x)=x postaje tangenta na logističku krivulju u točki sjecišta (
,), što očito ukazuje na to da će, ako se krivulja još malo iskrivi, taj pravac siječi krivulju u tri točke (ako izuzmemo ishodište). To također znači da je, po definiciji stabilnosti (Def. 2), (f 2)'()=1, iz čega prizlazi da je to neutralna vrijednost, vrijednost u kojoj se izmjenjuje stabilnost, odnosno vrijednost prve bifurkacije. Kako vidimo na posljednjoj slici, gdje je r=3.4, pravac zbilja siječe krivulju u tri točke. Središnja od tih točaka je nestabilna vrijednost odbijanja 
, a ostale dvije su atraktori perioda 2, koji iznose 0.452 i 0.842.
Prethodno poglavlje 
Povratak na sadržaj 
Slijedeće poglavlje Povratak na početnu stranicu 
Kontakt autora