Ono što se nismo ranije upitali je, postoji li atraktor perioda 3 u logističkoj jednadžbi? Pretpostavka se čini razumna, iako 3 ne spada u 2ⁿ periode, kakvi se javljaju sve do r_∞=3.5699457... Riješavanjem f ³(x)=x i f(x)≠x zbilja dobivamo neočekivani rezultat – kontrolni parametar pri kojemu počinje atraktor perioda 3 jednak je 1+=3.8284..., što je duboko u kaotičnom režimu! [5] Međutim, vratimo li se bifurkacijskom dijagramu, vidjeti ćemo da postoji stanovita “rupa” u kaosu, takozvani “prozor regularnosti” u kaotičnom režimu, i to baš perioda 3. To se sve bolje vidi na slici uvećanog desnog, kaotičnog dijela bifurkacijskog dijagrama (Sl. 11).

Sl. 11 - Bifurkacijski diagram, r=[3.5,4], x=[0,1]

    Najveći regularni prozor u kaosu upravo je onaj interval atraktora perioda 3, što je i ponukalo Jamesa Yorkea da objavi članak “Period tri ukazuje na kaos”, jer je dokazao da ako se u bilo kojem jednodimenzionalnom sustavu (što logistička jednadžba jest) pojavi atraktor perioda tri, taj isti sustav imati će također i potpuno kaotična područja. Nadalje, što je još zanimljivije, Sarkovskii je svojim teoremom [5] dokazao da jedan period “povlači za sobom” drugi, veći period, pa da za svako kontinuirano jednodimenzionalno preslikavanje vrijedi da u njemu postoje atraktori svih perioda iz skupa prirodnih brojeva, odnosno da se u prozorima regularnosti u kaosu mogu naći atraktori perioda 5 (koji je slijedeći najveći prozor u kaosu, na bifurkacijskom dijagramu nalazi se nalijevo od prozora perioda 3, na r=3.73817..), perioda 7, 9, 11, 13, itd. Ako bolje promotrimo jedan od tih regularnih prozora, primjerice onaj perioda 3, vidjeti ćemo da svaki od ta tri atraktora prolazi kroz niz podvostručenja perioda, sve do vlastite vrijednosti akumulacije, i vlastitog “malog” kaosa, i da uvećan (Sl. 12) izgleda vrlo slično cijelom dijagramu. Tako dobivamo atraktore perioda 6, 10, 14, 18, itd., a u konačnici se može pokazati da u tom ograničenom prostoru kaosa, od r_∞ do 4, imamo beskonačno mnogo periodičkih prozora, čija širina teži nuli, a čiji periodi variraju u skupu prirodnih brojeva.

Prethodno poglavlje          Povratak na sadržaj          Slijedeće poglavlje

Povratak na početnu stranicu          Kontakt autora